RSS

Funcţii cu proprietatea lui Darboux – Din culisele istoriei

08 Sep

O funcţie reală f definită pe un interval de numere reale are proprietatea lui Darboux dacă nu trece de la o valoare la alta fără a lua toate valorile intermediare. Această proprietate a fost stabilită de matematicianul ceh Bolzano (1781-1848). Jean-Gaston Darboux (1842-1917) are meritul de a fi studiat o clasă de funcţii reale, denumite astăzi funcţii cu proprietatea lui Darboux, şi de a fi demonstrat că orice funcţie derivată aparţine acestei clase.

În evoluţia conceptului de „continuitate” au existat câteva momente semnificative. Cronologic, acest concept este ulterior celui de derivată, dar, din punct de vedere logic, îl precede. Derivata şi integrala sunt noţiuni principale ale Analizei matematice în Calculul diferenţial, respectiv Calculul integral. Acestea constituie modelări matematice ale unor realităţi empirice, având interpretări fizice şi geometrice directe, aşa cum au fost evidenţiate de către Isaac Newton (1643-1727) şi Gottfried Wilhelm Freiherr von Leibniz (1646-1716). Continuitatea, însă, a apărut din raţiuni de ordin teoretic.

În 1872 Weierstrass a surprins matematicienii cu un exemplu de funcţie continuă în orice punct real, dar nederivabilă în nici un punct. În acea perioadă nu se făcea încă o delimitare foarte fină între proprietăţile de continuitate şi de derivabilitate. Astfel s-a născut întrebarea dacă proprietatea valorii intermediare este îndeplinită doar de funcţiile continue.

Un alt moment important în clarificarea ideii de continuitate a fost în 1875, când Darboux a dat un exemplu de funcţie derivată discontinuă, arătând, în acelaşi timp, că orice derivată posedă proprietatea valorilor intermediare. Înainte de aceasta se credea că proprietatea de continuitate este echivalentă cu proprietatea valorilor intermediare. Clarificările aduse mai ales în secolul XX, prin rafinarea instrumentelor Analizei matematice, au demonstrat că derivabilitatea implică continuitatea, iar continuitatea implică proprietatea lui Darboux.

Există două clase importante de funcţii care au proprietatea lui Darboux: funcţiile continue şi cele antiderivabile, legătura dintre acestea stând la baza rezultatelor obţinute în Calculul diferenţial şi integral.

Advertisements
 
Leave a comment

Posted by on September 8, 2011 in Recapitulare din clasa a 11-a

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: