RSS

Primitiva şi integrala nedefinită

13 Nov

În clasa a XII-a introducerea noţiunii de primitivă poate debuta cu reamintirea tabloului derivatelor funcţiilor elementare si cu particularizarea problemei inverse pentru câteva funcţii, ca în acest exercitiu.

Definiţie: Fie  I un interval din R şi f:I->R. Spunem că funcţia f admite primitivă pe I dacă există o funcţie F:I->R astfel încât:

1.       F să fie derivabilă pe I
2.      F'(x)=f(x), pentru orice x din I

În acest caz spunem că f este o funcţie derivată sau primitivabilă pe I, iar F este o primitivă sau antiderivată a lui f pe I

Observaţii:

a) Determinarea tuturor primitivelor unei funcţii reprezintă unul dintre scopurile Calcului integral. Această problemă este reciproca problemei fundamentale a Calculului diferenţial.

b) Dacă intervalul I este închis la un capăt, atunci derivata în acel punct care reprezintă extremitatea intervalului este derivata laterală dinspre interiorul intervalului (de exemplu, în capătul din stânga se înţelege derivata la dreapta).

Interpretarea geometrică a primitivei:

În clasa a XI-a s-a stabilit că funcţia derivată y=f(x) dă coeficientul unghiular al tangentei la curbă în punctul corespunzător.

Problema determinării unei primitive F a funcţiei date f se poate interpreta astfel:

Să se găsească curba y=F(x) pentru care se dă legea variaţiei coeficientului unghiular al tangentei tg a=f(x)=F’(x)

Dacă y=F(x) este una dintre aceste curbe, toate celelalte pot fi obţinute din aceasta prin translaţie (cu cantitatea arbitrara c) paralelă cu axa 0Y.

Pentru a individualiza curba în această mulţime de curbe este suficient, de exemplu, să se ia un punct (x0,y0) prin care trebuie să treacă curba. Din condiţia iniţială y0=F(x0)+c se obţine c=y0-F(x0).

Observaţie:

Noţiunea de primitivă este o noţiune globală şi ea se defineşte pe o întreagă mulţime, spre deosebire de noţiunile de continuitate şi de derivabilitate, care se definesc într-un punct şi se extind la o mulţime, în sensul validităţii în fiecare punct.

Advertisements
 
Leave a comment

Posted by on November 13, 2011 in Ora de mate, Primitiva clasei a 12-a

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: