RSS

Integrala nedefinită şi diferenţiala

14 Nov

Originile integralei urcă până în antichitatea greacă, la Eudox din Şcoala lui Platon, secolul al IV-lea î.H. şi la Arhimede din Şcoala din Alexandria, secolul al III-lea î.H. Problema geometrică de bază pe care teoria integralei definite îşi propune să o rezolve este următoarea: Fie f o funcţie reală pozitivă definită pe intervalul [a,b] şi fie E(f) subgraficul lui f. Ce reprezintă aria lui E(f ) şi cum se poate determina aceasta?

Necesitatea de a calcula arii şi volume a fost evidentă încă din antichitate, dar lipsea un procedeu general. Arhimede a indicat mai multe metode pentru a calcula aria unui segment de parabolă,iar Eudox a găsit volumul piramidei şi al conului. Toate acestea erau obţinute cu multă ingeniozitate, dar matematicienii de atunci nu găsiseră încă o regulă generală.

Stabilirea legăturii dintre integrală şi derivată a permis trecerea de la proprietăţi locale la proprietăţi globale şi elaborarea unei metode de calcul al acestora. Cei care au avut contribuţii decisive în această direcţie au fost Newton şi Leibniz, care au lucrat în mod independent, ajungând la aceleaşi concluzii, prin metode diferite.

Newton a demonstrat că aria F(x) a acelei porţiuni din subgraficul E(f) a lui f care corespunde subintervalului [a,x] a lui [a,b] are ca derivată pe f(x). De aici el a dedus că determinarea ariei lui E(f) revine la a găsi o funcţie F având ca derivată pe f pe [a,b] şi la a calcula F(b)-F(a). În acest mod Newton a stabilit legătura dintre primitive şi arie pe baza unui algoritm destul de simplu.

În schimb G.W. Leibniz a avut ca punct de plecare în rezolvarea problemei ariilor operaţia de trecere la limită a unei sume. Leibniz a stabilit că, atunci când diferenţele  devin “infinit de mici”, suma Riemann devine aria lui E(f), pe care a notat-o . Simbolul este o formă alungită a literei S, de la o sumă, iar simbolul dx sugerează diferenţa . Abia fraţii Bernoulli au introdus, la sfârşitul secolului al XVII-lea, termenul de integrală, pe care l-a adoptat şi Leibniz, şi care corespunde la ceea ce azi numim primitivă. Dacă se notează cu F(x) aria porţiunii subgraficului E(f) care corespunde subintervalului [a,x], atunci relaţia de azi F’(x)=f(x) în notaţia lui Leibniz se scria  sau , altfel spus: diferenţiala integralei (a ariei) este egală cu produsul dintre derivata integralei şi diferenţiala lui x. Integrala definită a lui f pe [a,b] este aria subgraficului E(f) şi are valoarea F(b)-F(a), unde F este o primitivă a lui f. Notaţia  a fost introdusă în 1816 de către Fourier. Datorită strânsei legături care există între noţiunile de integrală definită şi nedefinită, pentru operaţia de determinare a primitivelor unei funcţii se adoptă acelaşi simbol.

Chestiuni mai subtile, legate de posibilitatea integrării unor funcţii cât mai generale, s-au pus mai târziu. Cauchy a dezvoltat teoria integralei pentru funcţii având un număr finit de discontinuităţi. Cel care a elaborat o teorie completă a integralei a fost Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Matematicianul Henry Lebesque (1875-1941) a construit o integrală mai generală, care a deschis perspective noi în analiza matematică.

Advertisements
 
Leave a comment

Posted by on November 14, 2011 in Ora de mate, Primitiva clasei a 12-a

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: